A Multiplicação

Conceitos da Multiplicação

Podemos ensinar a multiplicação de forma divertida, através de atividades prazerosas e que instigam a nossa imaginação, como as que estão postadas abaixo. Venha participar e realizar os desafios, tenho certeza que você irá adorar e aprender muito! Afinal, a multiplicação é algo que utilizaremos muito durante a nossa vida! 

 A adição de parcelas iguais

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Uma criança que ainda não sabe multiplicar pode, perfeitamente, resolver este problema:

·         Uma caixa de lápis de cor contém 6 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a essa?

Como uma criança resolverá o problema, se não sabe efetuar 3 x 6? Simplesmente efetuando 6 + 6 + 6 = 18, ou seja, adicionado parcelas iguais.

Situações como essa que descrevemos explicam por que, atualmente, a maioria das professoras começa a ensinar a multiplicação de parcelas iguais. Elas explicam ás crianças que 3 x 6 significa 6 + 6 + 6, que 2 x 5 significa 5 + 5, e assim por diante.

Complete, sem dar espaços, a sentença: A expressão 4 x a corresponde à adição

Parte inferior do formulário

A multiplicação pode ser considerada como uma maneira abreviada de indicar a adição de parcelas iguais. Essa ideia de adição de parcelas iguais aparece em várias situações, como, por exemplo, a organização retangular.

A organização retangular

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Considere estes problemas:

• Márcio, o marceneiro, fez um armário cheio de gavetas. Veja:

 Quantas são as gavetas?

• Jurandir já assentou a primeira fileira e a primeira coluna de azulejos na parede da cozinha. Veja:

Quantos azulejos serão gastos para revestir a parede toda?

Você pode resolver o primeiro problema contando as gavetas uma a uma, mas há de concordar que é um pouco trabalhoso. E, usando a contagem, o segundo problema fica mais difícil, pois não vemos todos os azulejos.

Os dois problemas podem, no entanto, ser resolvidos com o uso da multiplicação.

No problema do gaveteiro, você pode ver que cada fileira de gavetas contém 10 gavetas e que todas as fileiras têm a mesma quantidade de gavetas:

Como há 7 fileiras de gavetas, o total é:

A resolução que acabamos de ver mostra que a multiplicação nos permite encontrar o total de objetos organizados numa disposição retangular, como é o caso das gavetas.

Usando o mesmo raciocínio, resolve-se o problema dos azulejos:

Cada fileira tem 22 azulejos; são 12 fileiras; total de azuleijos: 12 x 22 = 264 

Observando estes dois exemplos, verificamos que a organização retangular equivale á idéia de repetição de parcelas iguais.

Observe a formação de soldados. Como saber o total de soldados, sem contar um por um?

Parte inferior do formulário

Já observamos que é comum as crianças conhecerem a multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos retangulares.

Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são muito comuns no dia a dia. Aparecem:

Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo.

Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 6 fileiras de 6.

 

Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 = 18, pois há 6 colunas de 3. 

Conclusão: a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3 x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no caso, troca-se a ordem dos fatores.

Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão, posteriormente, o cálculo de áreas.

Quadradinho unitário

A área do quadrado de lado 4 é igual a 4 x 4, pois no seu interior cabem 4 x 4 quadradinhos unitários. 

A área do retângulo de lados 3 e 5 é igual a 3 x 5 (ou 5 x 3), pois este é o número de quadradinhos unitários que cabem em seu interior. 

A área desta figura é igual a 31 porque cabem 31 quadradinhos unitários no seu interior.

 

 Para trabalhar a multiplicação utilizando a idéia de organização retangular podemos utilizar papel quadriculado, escrevendo de várias maneiras diferentes o número de quadradinhos de cada figura.

3 + 3 + 3 + 3 ou 4 x 3
ou 4 + 4 + 4 ou 3 x 4 ou ...

 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2

ou 5 + 5 ou 2 x 5 ou ...

3 + 3 + 3 + 6 + 6 

ou 3 x 3 + 2 x 6
ou 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5
ou 3 x 2 + 3 x 5 ou ...

 

Um professor estava exercitando o cálculo mental de seus alunos, e perguntou qual era o resultado de 12 x 3. Alguns alunos tiveram muita dificuldade para encontrar o resultado, enquanto outros, não. Como você faria para calcular rapidamente 12 x 3?

A variedade de situações relacionadas com a multiplicação

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Vimos até aqui duas situações básicas em que a multiplicação é empregada:

·         para substituir uma adição de parcelas iguais;

·         para obter o total de possibilidades no raciocínio combinatório.

No entanto, essas situações não esgotam as diversas maneiras de se explorar o uso da multiplicação. Essa operação aparece em outras situações que, embora relacionadas com as já vistas, podem parecer novas para os alunos. Vamos ver alguns exemplos:

·         Às vezes a multiplicação está "escondida". Ao ler o número 460, dizemos quatrocentos e sessenta. Você percebeu a multiplicação que está ai?

Quatrocentos significa quatro vezes o cem; sessenta corresponde a seis grupos de dez, isto é, seis vezes o dez. A multiplicação está presente na nossa maneira de escrever e de ler os números, embora nem sempre nós lembremos disso. É o princípio multiplicativo da numeração indo-arábica, que vimos no módulo 1, lembra-se?

·         "Na auto-estrada BR-pi há um posto de pedágio a cada 40 quilômetros. Um motorista sai de Triângulo Citi, localizada logo após um pedágio, em direção a Hexagolândia, também localizada logo após um outro pedágio. Neste percurso, o automóvel passou por 5 postos de pedágio. Qual é a distância entre as duas cidades?"

O problema é bastante simples. Uma adição de parcelas iguais conduz á multiplicação:

40 + 40 + 40 + 40 + 40 = 5 x 40

Bem, até aqui nada de novo. Entretanto, neste problema podemos explorar o aspecto aditivo da multiplicação, trabalhando sobre a reta numérica. Sabemos bem como esta idéia é importante na matemática.

·         "Quantas caixas de refrigerante o caminhão carrega?"

Para encontrar a resposta a este problema, devemos perceber que as caixas estão organizadas em 4 camadas, sendo que, em cada camada, há 6 x 5 caixas.

Portanto, o número de caixas é igual a 4 x 6 x 5 = 120.

Problemas deste tipo facilitarão, posteriormente, o cálculo de volumes. Para compreender que 1 m³ é igual a 1000 litros é necessário o mesmo raciocínio usado para calcular o número de caixas transportadas pelo caminhão.

Repare ainda que este problema usa a ideia da organização retangular de maneira ampliada.

Parte superior do formulário

Em uma mesa retangular sentam-se 6 pessoas. Se 20 destas mesas forem encostadas umas nas outras, como mostra o desenho, quantas pessoas poderão sentar-se? Poderão sentar-se pessoas.

Parte inferior do formulário

Os exemplos aqui apresentados mostram que há diferentes situações envolvendo a multiplicação. Para nós que já estamos acostumados com esta operação, ás vezes é difícil perceber as diferenças entre elas. Entretanto, para o aluno, estas diferenças constituem, muitas vezes, dificuldades a serem superadas. Para esta superação, a atuação do professor é fundamental.

Além de identificar e respeitar estas dificuldades do aluno, precisamos compreender que esta enorme variedade de situações relacionadas com a multiplicação constitui-se uma riqueza que não pode ser desprezada no processo de ensino-aprendizagem da matemática. Por isso é fundamental, no trabalho com a multiplicação, explorar todas elas.

Quando multiplicar nas expressões numéricas

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Veja este problema:

·         No supermercado, comprei uma escova de dentes por 2 reais (R$ 2,0) e 3 sabonetes, cada um custando 80 centavos (R$ 0,80). Quanto gastei?

Que problema facíl, não é? A resolução pode ser indicada por esta expressão numérica:

2,0 + 3 x 0,80.

Com isso indicamos que se deve somar 2,0 com o resultado de 3 x 0,80, que é 4,40. Isto é, deve-se fazer 2,0 + 2,40 = 4,40.

Mas, atenção! Será que alguém, lendo a expressão

2,0 + 3 x 0,80

não poderia, primeiro, somar 2,0 com 3 e multiplicar o resultado por 0,80? Nesse caso, teríamos 5,0 x 0,80 = 4,0. Isso não corresponde ao que gastei no supermercado.

Pois é, colega, ao escrever expressões em que aparecem multiplicações e adições ou subtrações pode haver mais de uma interpretação. Para evitar dúvidas sobre qual operação é feita primeiro, os matemáticos combinaram que a multiplicação sempre deve ser feita antes da adição e da subtração. Isto é o que se chama uma "convenção": fica combinado que ...

Respeitando esta convenção, 2,0 + 3 x 0,80 tem como resultado o número 4,4.

Se quisermos que uma adição ou subtração seja efetuada antes da multiplicação, temos que usar parênteses. Assim, (2,0 + 3) x 0,80 tem como resultado, 4,0.

Essas regras convencionadas são usadas em todo o mundo há bastante tempo. Com elas sabemos qual operação fazer primeiro em expressões matemáticas.

Dê o resultado de a) 4 + 3 x 5 = b) (4 + 3) x 5 =

Exercícios

             1. Considere a expressão 7 x p. Agora, diga quais das expressões seguintes são iguais a 7 x p, explicando sua resposta: 

a) p + p + p + p + p + p + p
b) p x p x p x p x p x p x p
c) 3 x p + 4 x p

Se tiver mais de uma opção correta, coloque-as separadas por - sem deixar espaço entre elas.

Expressão(ões) que equivale(m) a 7 x p:

            2. Quantos segundos há em um dia?

Em um dia há segundos.

3. Foram gastos ladrilhos.

Quantos ladrilhos foram gastos para ladrilhar a sala representada no desenho?

4.

Perceba que há várias maneiras diferentes de escrever 24 como produto de dois fatores. Escreva 36 como produto de dois fatores de três maneiras diferentes.

Primeira maneira:
Segunda maneira:
Terceira maneira:

         5. Wilson vestia-se para ir a uma festa. Separou as melhores roupas: duas calças (uma branca e outra preta) e três camisetas (uma estampada, uma branca e uma preta). E ai ficou em dúvida, sem saber com que roupa ir à festa. Antes de decidir, imaginou todas as possibilidades. 

a) Faça, no papel, uma tabela com todas essas possibilidades.
b) Diga quantas são as possibilidades. possibilidades.

Uma dica interessante para vocês:

A tabuada dos nove e os dedos das mãos

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Há um modo interessante para se obter a tabuada do nove usando os dedos das mãos. Coloque as mãos abertas sobre a mesa.

Vamos obter, por exemplo, 3 x 9. Dobre o 3° dedo, a contar da esquerda para a direita.

Veja que, á esquerda do dedo dobrado, ficaram dois dedos e, á sua direita, 7 dedos.

Eis o resultado: 3 x 9 = 27!

Veja como se obtém 6 x 9:

Não é curioso? Experimente obter as outras multiplicações da tabuada do nove.

Espero que vocês tenham gostado! Postem nos comentários! Um Bom Dia!