O zero, o um e as quatro operações

Olá!! Que tal aprendermos um pouco mais sobre as quatro operações?

VAMOS NESSA!

Existem dois números que se comportam de maneira bastante especial com relação às quatro operações elementares. Estamos nos referindo ao zero e ao um.

São comuns estas opiniões sobre o zero:

Elas fazem sentido quando pensamos o zero associado à subtração. De fato, somando zero a um número ou subtraindo zero de um número obtemos sempre o próprio número. Estes fatos podem ser representados assim:

p + 0 = p

p - 0 = p

A letra p representa qualquer número

Entretanto, o papel do zero na multiplicação é bem diferente.

Veja: 5 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

0 x 3 = 3 x 0 = 0 + 0 + 0 = 0

De um modo geral:

a x 0 = 0 x a = 0

A letra a representa qualquer número

O zero como fator de uma multiplicação é "arrasador". Anula qualquer produto.

Vejamos agora o comportamento do zero na divisão. Lembremos que dividir a por b significa encontrar c de modo que c x b = a (estamos nos referindo à divisão exata).

Como dividendo o zero não oferece dificuldades. Por exemplo: 0 : 7 = 0 pois 0 x 7 = 0.

Agora vamos analizar um caso em que o zero é divisor. Por exemplo: dividir 2 por 0 é encontrar um número que multiplicado por 0 dê 2. Em outros termos:

se 2 : 0 = q então q x 0 = 2

Sucede que não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Logo, não existe o quociente da divisão de 2 por 0. Tal divisão é impossível.

Há ainda um caso a ser pensado: aquele em que o dividendo e o divisor são iguais a zero. Dividir 0 por 0 é encontrar um número que multiplicado por zero dê zero. Ora, todo número serve! Então haveria infinitos quocientes para a divisão de zero por zero. Esta situação criaria embaraços. Para a matemática, não há interesse algum em ter-se infinitos quocientes para uma só divisão. Por isso, também não se permite a divisão de zero por zero.

Moral da história: o zero nunca pode ser divisor!

Como já vimos, na adição o zero é neutro. Com relação à multiplicação, quem desempenha esse papel de neutralidade é o 1 uma vez que: a x 1 = 1 x a = a, qualquer que seja o número a (ou melhor, o número representado pela letra a).

Veja então que este carácter de neutralidade ou não do zero e do um não é absoluto. Ele é relativo à operação considerada.

Responda as perguntas: a) Quais são as operações que têm a propriedade associativa? b) Qual é o número que desempenha o papel de neutralidade na adição? . E na multiplicação? . c) Mostre por que o zero nunca pode ser divisor: .

Parte inferior do formulário

Outras propriedades da divisão exata

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Observe a tabela e procure descobrir que regularidade ela contém.

dividendo	divisor	quociente
6	2	3
12	4	3
18	6	3
24	8	3
30	10	3
36	12	3
42	14	3
48	16	3

A primeira linha correspondente à divisão exata 6 : 2 = 3. Da primeira para segunda linha, o dividendo e o divisor foram ambos multiplicados por 2; o quociente permaneceu inalterado. Da primeira para a terceira linha, o dividendo e o divisor foram multiplicados por 3; o quociente é o mesmo. E assim por diante; cada divisão foi gerada a partir da primeira, multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número. O quociente não muda.

Generalizando, podemos representar esta propriedade assim:

se a : b = c, então (ma) : (mb) = c

Pelo que vimos as letras b e m não podem representar o número zero.

Agora observe esta outra tabela. Que regularidade ela contém?

dividendo	divisor	quociente
6	2	3
12	2	6
18	2	9
24	2	12
30	2	15
36	2	18
42	2	21
48	2	24

Note que o divisor é constante. Da primeira divisão para as seguintes, o dividendo foi multiplicado por 2, 3, 4, etc. Observe que o quociente correspondente também ficou multiplicado por 2, 3, 4, etc.

Vamos generalizar esta conclusão:

se a : b = c, então (ma) : b = (mc)

A letra b não pode representar o número zero.

Parte superior do formulário

Preencha os espaços em branco de acordo com o desenho: A = , B = , C = , D = , E = , F = , G = , H = , I =

Parte inferior do formulário

O algoritmo tradicional da divisão

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Você já conhece este algoritmo:

Trata-se de uma técnica para dividir que é, sem dúvida, bastante eficiente. Vamos discutir a compreensão da mesma.

·  Por que dividimos 7 por 6?

·  Por que abaixamos o 9 e não o 98?

·  Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1?

Par facilitar a compreensão do algoritmo usaremos materiais didáticos. São adequados o ábaco (apresentado no módulo 1) e o material dourado (módulo 2).

Vamos representar o número 798 com o material dourado:

Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos:

Começaremos distribuindo as centenas.

Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agora temos 19 dezenas:

Distribuímos as dezenas.

Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agora temos 18 unidades.

           

 Finalmente distribuímos as unidades.

Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é, seu resto é zero.

A compreensão deste algoritmo da divisão depende da compreensão do nosso sistema de numeração, do domínio da subtração e de uma certa experiência com estimativas e cálculo mental.

No trabalho de sala de aula constatamos que a compreensão e o domínio desta técnica por parte dos alunos não é um processo simples.

Complete os quadradinhos do algaritmo da divisão, representado abaixo, com os algarismos corretos: A = , B = , C = , D = , E =