Boa tarde Pessoal, Nesta postagem vocês aprenderão sobre as diversas formas numéricas, a Egípcia, a Romana, e muitas atividades preparadas para vocês absorverem melhor o assunto! Divirtam-se!!
Como surgiu a noção de número
Quando enfrentamos situações em que queremos saber
"quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram
há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como
surgiram os números?
Para responder a essa pergunta precisamos
ter uma ideia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades.
Naquele tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos;
para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.
Mas esse modo de vida foi-se modificando
pouco a pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros
de um grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população
aumentava e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas
mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades.
Foi então que ele começou a cultivar
plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de
10.000 anos atrás.
Os pastores de ovelhas tinham necessidades
de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os
pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se
juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam
o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o
pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de
pedras.
Quando os animais voltavam, o pastor
retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras,
ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o
rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para cada ovelha,
uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência um a um.
Fazer correspondência um a um é associar a
cada objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê, o homem
resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência um a um. A
correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o surgimento da noção
de número.
Afinal, alguma coisa em comum existia entre
o monte de pedras e o grupo de ovelhas: se a quantidade de pedras correspondia
exatamente à quantidade de ovelhas, esses dois conjuntos tinham uma propriedade
comum: o número de ovelhas ou pedras.
Mas, provavelmente o homem não usou somente
pedras para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha
utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do
que seus próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos
para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.
Entretanto, surgiu um novo problema:
levantar dedos permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não
permitia guardar essa informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido
levantados. Separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas
não era muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.
A seguir, responda o seguinte problema e
depois verifique a resposta:
Pergunta: Imagine que você esteja numa festa-baile.
Em que momento é mais fácil saber se há mais homens ou mais mulheres na festa:
quando estão dançando, ou quando a música para e as pessoas estão conversando
pelo salão? Por quê?
Resposta: O momento mais fácil para se saber se existem
mais homens ou mulheres no salão é quando as pessoas estão dançando.
Verificando as pessoas que não estão dançando, tem-se uma ideia precisa da
maioria de homens ou mulheres.
Os primeiros registros de números
+de+imagem.bmp)
+de+imagem.bmp)
+de+imagem.bmp)
Nos museus de todo o mundo há inúmeros
objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com
talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas
paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.
Isso parece indicar que o homem sentiu
necessidade de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso?
Para registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um:
uma marca para cada objeto.
Contando grandes quantidades
Você já reparou que, quando precisamos
contar uma grande quantidade de coisas, vamos separando os objetos em montes ou
em grupos, pois isto facilita a contagem? É isto que fazemos, por exemplo,
quando contamos por dúzias. Contar por dúzia é uma forma de agrupar: agrupar de
12 em 12.
Em muitas situações, os agrupamentos são
necessários e facilitam o trabalho do homem. Observe, por exemplo, como são
embaladas muitas coisas que compramos. Os fabricantes agrupam um determinado
número de unidades em cada embalagem. Por exemplo: as barrinhas de drops vêm
com o mesmo número de balas, os maços de cigarro vêm sempre com o mesmo número
de cigarros.
Você já viu alguma vez um pacote grande de
fósforos? Um pacote grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e cada
caixa com 40 palitos de fósforo.
Em relação ao pacote grande de fósforos mencionado, responda:
a)
Quantos fósforos tem um maço com 10 caixas de fósforos ?
fósforos
b)
Quantos fósforos tem um pacote grande ?
fósforos
Mas, em que época de sua história
o homem percebeu que agrupar ajuda a contar? Sabemos que não foi de um dia para
o outro. Sabemos também que as primeiras formas de agrupar, provavelmente, se
relacionavam com as mãos e também com os pés. O homem deve ter começado a
agrupar de cinco em cinco, de dez em dez, de vinte em vinte, fazendo a
correspondência com os dedos das mãos e dos pés.
O sistema de numeração egípcio
Essa ideia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.
Os
egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever
números, baseado em agrupamentos.
1
era representado por uma marca que se parecia com um bastão |
2
por duas marcas ||
E assim por diante:
3
|
|||
|
7
|
|||||||
|
4
|
||||
|
8
|
||||||||
|
5
|
|||||
|
9
|
|||||||||
|
6
|
||||||
|
Quando
chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas: ||||||||||
por 
, que indicava o agrupamento.
, que indicava o agrupamento.
Feito
isso, continuavam até o 19:
10
|
15
||||| |
11
| |
16
|||||| |
12
|| |
17
||||||| |
13
||| |
18
|||||||| |
14
|||| |
19
||||||||| |
O 20
era representado por
E
continuavam:
30
40
E assim por diante....
Trocavam
esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de corda enrolada: +de+egip.bmp)
Juntando
vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, até o 900.
Dez
marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de
lótus:
+de+egip.bmp)
Desta
forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os
números de que necessitavam.
Veja os símbolos usados pelos
egípcios e o que significava cada marca.
Símbolo egípcio
|
descrição
|
nosso número
|
 |
bastão
|
1
|
|
calcanhar
|
10
|
|
rolo
de corda
|
100
|
|
flor
de lótus
|
1000
|
 |
dedo
apontando
|
10000
|
+de+egip.bmp) |
peixe
|
100000
|
+de+egip.bmp) |
homem
|
1000000
|
Observe
como eles escreviam o número 322:
ou seja, 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1
Entretanto,
usando o sistema egípcio, fica trabalhoso registrar certas quantidades.
Experimente, por exemplo, escrever 999 no sistema egípcio e compare com a nossa
maneira de escrevê-lo.
O sistema de numeração romano
Diversas
civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios
sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido
abandonados.
Assim,
por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos
compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da
numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a
base sessenta.
Outro
vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de
relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de
numeração romana.
Estes
são os símbolos usados no sistema de numeração romano:
I
|
V
|
X
|
L
|
C
|
D
|
M
|
1
|
5
|
10
|
50
|
100
|
500
|
1000
|
Vamos lembrar como eram escritos
alguns números:
sete
|
trinta
e seis
|
cento
e cinqüenta e dois
|
mil
setecentos e onze
|
VII
|
XXXVI
|
CLII
|
MDCCXI
|
5+1+1
|
10+10+10+5+1
|
100+50+1+1
|
1000+500+100+100+10+1
|
Para
não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração.
Observe
alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e como os romanos passaram a
escrevê-los:
quatro
|
nove
|
quarenta
|
quarenta
e quatro
|
novecentos
|
IV
|
IX
|
XL
|
XLIV
|
CM
|
5-1
|
10-1
|
50-10
|
(50-10)+(5-1)
|
1000-100
|
quatrocentos
e noventa
|
mil
novecentos e noventa e quatro
|
CDXC
|
MCMXCIV
|
(500-100)+(100-10)
|
1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)
|
Assim
como no sistema egípcio, também na numeração romana é trabalhoso escrever
certos números. Veja:
três
mil oitocentos e oitenta e oito
|
MMMDCCCLXXXVIII
|
1000+1000+1000+500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1
|
Escreva
com símbolos romanos os números:
a)23:
b)234:
c)999:
|
Escreva com símbolos egípcios e romanos:
a) Ano da Independência do Brasil: 1822.
Com símbolos egípcios fica:
Faça sua opção:
Opção número:
Com símbolos romanos fica:
Observe
as informações do documento abaixo:
Idade do Faraó
Número de homens que estão trabalhando na pirâmide
a)
Qual é a idade do Faraó? anos.
b)
Quantos homens estão trabalhando na pirâmide? homens.
O sistema de numeração decimal
Na
primeira parte deste módulo representamos as numerações egípcia e romana. Vimos
que elas são pouco práticas em comparação com o nosso sistema de numeração,
pois, para representar certos números, os egípcios e romanos precisavam
enfileirar uma grande quantidade de símbolos.
Com
o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos
escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia e romana, para
se escrever números muito grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o
dez mil, outro para o dez milhões, outro para o cem milhões etc.
Quais
são os dez símbolos do nosso sistema de numeração?
(Escreva em ordem crescente e separados por " - " ) |
Os sistemas de numeração egípcio
e romano apresentavam ainda uma outra dificuldade: era muito trabalhoso efetuar
cálculos usando esses critérios.
Essas
dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso
sistema de numeração. Eles souberam reunir três características que já
apareciam em outros sistemas numéricos da Antiguidade:
· o sistema de numeração hindu é decimal (o
egípcio, o romano e o chinês também o eram);
· o sistema de numeração hindu é posicional (o
babilônio também era);
· o sistema de numeração hindu tem o zero, isto
é, um símbolo para o nada.
Estas
três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração hindu o mais
prático de todos. Não é sem motivo que hoje ele é usado quase no mundo todo.
Vamos analisar as características do nosso sistema de numeração para
compreender suas regras de funcionamento. Sem esta compreensão é impossível
entender as técnicas operatórias, os números decimais e o sistema métrico
decimal.
O ábaco
Há
vários tipos diferentes de ábacos, mas todos obedecem basicamente aos mesmos
princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Numa moldura de madeira
são fixados alguns fios de arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio
representam as unidades; as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio, as
centenas e assim por diante.
Vamos
nos imaginar contando as crianças que entram na escola, passando uma a uma pelo
portão. Inicialmente todas as bolinhas devem estar do lado esquerdo do ábaco.
1.
Para cada criança que passa, deslocamos uma bolinha do 1º fio para a direita.
+de+ABACO.bmp)
2.
Quando as dez bolinhas do 1º fio estão à direita, deslocamos uma bolinha do 2º
fio para a direita e voltamos com as dez bolinhas do 1º fio para a esquerda.
3.
Assim, prosseguimos a contagem.
4.
Quando as dez bolinhas do 2º fio estiverem à direita, deslocaremos uma bolinha
do 3º fio para a direita e as bolinhas do 2º fio voltarão para a esquerda.
Suponhamos
que, ao terminar a contagem, esta seja a disposição das bolinhas no ábaco:
+de+ABACO.bmp)
Podemos
registrá-la deste modo:
centenas
|
dezenas
|
unidades
|
3
|
6
|
5
|
O
número total de alunos é:
3
bolinhas que valem 100 cada uma
|
+
|
6
bolinas que valem 10 cada uma
|
+
|
5
bolinhas que valem 1 cada uma
|
ou
seja:
3 x 100
|
+
|
6 x 10
|
+
|
5 x 1
|
=
|
365
|
300
|
+
|
60
|
+
|
5
|
=
|
365
|
A necessidade do zero
Estamos
tão acostumados com sistema de numeração decimal que ele nos parece
incrivelmente simples. No entanto, desde os tempos em que os homens fizeram
suas primeiras contagens, até o aparecimento do sistema de numeração hindu,
decorreram milhares de anos. É surpreendente que diversas civilizações da
Antiguidade, como as dos egípcios, babilônios e gregos, capazes de realizações
maravilhosas, não tenham chegado a um sistema de numeração tão funcional quanto
o dos hindus. Por que tanta dificuldade? Uma possível resposta a esta pergunta
nos leva ao zero, isto é, a um símbolo para o nada.
Estamos
tão familiarizados com o zero que não sentimos a menor dificuldade em
raciocinar com ele. As crianças o dominam com facilidade. Entretanto, nem sempre
foi assim. Nossos antepassados custaram muito para inventar o zero e, mesmo
depois de nascido, o símbolo para o nada demorou a ser aceito.
É
fácil compreender o porquê dessa demora: os números foram criados pelos homens
como um recurso para auxiliá-los nas diversas contagens que precisavam fazer no
seu dia-a-dia. Os números surgiram da necessidade de determinar quantidades.
Ora, quem não tem coisa alguma, que necessidade pode ter de contar o que não
tem? Por exemplo: você tem alguma girafa em sua casa? Imaginamos que não! E se
você não tem girafas em casa, não vai sentir necessidade alguma de contar
quantas girafas tem em
casa. Portanto , enquanto se tratava apenas de determinar
quantidades, ninguém sentiu falta de um símbolo para o nada.
O
zero surgiu quando se procurou representar, fielmente, com símbolos no papel, o
que se passava no ábaco.
O
ábaco e o zero
Observe
as quantidades indicadas em cada um dos ábacos seguintes:
No
nosso sistema de numeração elas são registradas assim: 34 e 304. Quando
escrevemos 304, o símbolo "0" indica que na 2ª fileira do ábaco não
há bolinhas do lado direito. Ao invés do símbolo "0" poderíamos usar
outro qualquer como, por exemplo, um espaço em branco: 3 4. Isto não importa;
estaríamos, do mesmo modo, usando um símbolo para o nada.
Após
entender os números, o passo seguinte, para as crianças, é aprender a
representá-los. Para tal, é necessário que utilizem símbolos.
Entretanto, antes de começar a ensinar a escrita dos números, é importante
trabalhar um pouco com as crianças o uso dos símbolos. Pode-se pedir que
inventem símbolos para representar coisas, acontecimentos, emoções de seu dia a
dia, como por exemplo, um dia ensolarado, alegria etc.
É
interessante que se converse com as crianças sobre os símbolos que inventaram,
comparando as diversas propostas e perguntando se conhecem outros símbolos.
Como exemplos, podem ser citados símbolos de canais de televisão, de trânsito,
a bandeira e outros.
Uma
criança que já tenha passado pelas experiências descritas anteriormente e
entendido os números poderá inventar símbolos para representá-los, sem que
nenhum ensinamento lhe seja dado.
Um
símbolo pode ter ou não semelhança figurativa com a coisa que ele representa.
Em geral, ao serem inventados pelas crianças, os símbolos dos números indicam a
própria quantidade, como os povos antigos os representavam. Assim, por exemplo,
para representar os números um, dois, três, quatro, etc, uma criança poderá
fazer risquinhos: / // /// ////.
Neste
momento, a criança já está preparada para aprender os símbolos que utilizamos
atualmente para representar os números. No entanto, devemos ter ainda alguns cuidados.
Em
primeiro lugar, como já vimos na lição, quem conta, conta alguma coisa,
portanto, não faz sentido começar a ensinar a escrita dos números pelo zero,
pois este não representa quantidade. O símbolo para o zero só deve ser ensinado
depois que as crianças já sabem representar os nove primeiros números, a
partir do um.
Em
segundo lugar, é muito importante que o ensino da escrita do número dez e de
seus sucessores não seja precipitado, pois, da mesma forma que diversas
atividades e experiências podem ser propostas para que as crianças primeiro
entendam os números de um a nove, para só depois representá-los, é preciso que
elas participem de outras experiências e façam novas atividades que as ajudarão
a compreender a escrita dos números a partir do dez. Um bom recurso para isso é
o uso do ábaco, pois ele materializa as duas principais características do
nosso sistema de numeração: o caráter posicional e a base dez.
É isso aí galera, espero que vocês tenham compreendido as diversas formas numéricas! Boa Tarde!
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